4. Mekanika Bahan Momen Inersia Penampang Persegi, Segitiga dan Lingkaran

Hai hai Engineer, Berikut ini menurunkan rumus Momen Inersia Penampang Persegi, Segitiga dan Lingkaran, sbb:

Momen inersia dapat disebut juga Momen Kedua atau Momen Kelembaman. Nilai momen inersia pada suatu penampang dari komponen struktur akan diperlukan pada perhitungan-perhitungan tegangan lentur, tegangan geser, tegangan torsi, defleksi balok, kekakuan balok/kolom dan sebagainya

Secara matematis momen inersia ditentukan dengan persamaan-persamaan berikut :

Momen Inersia terhadap sumbu X :

$I_{x}=\int y^{2}.dA$

Momen Inersia terhadap sumbu Y :

$I_{y}=\int x^{2}.dA$

1. Penampang Persegi

a. Terhadap Sumbu X

$I_{x}=\int dA.y^{2}$

$I_{x}=\int dx.dy.y^{2}$

$I_{x}=\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}dx.\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}dy.y^{2}$

$I_{x}=\left [ x \right ]_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}.\left [ \frac{1}{3}.y^{3} \right ]_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}$

$I_{x}=\left [ \frac{b}{2}+\frac{b}{2} \right ].\left [ \left [ \frac{1}{3}.\frac{h}{2}^{3} \right ]-\left [ \frac{1}{3}.-\frac{h}{3}^{3} \right ] \right ]$

$I_{x}=b.\left [ \frac{h}{24}^{3}+\frac{h}{24}^{3} \right ]$

$I_{x}=\frac{1}{12}.b.h^{3}$

b. Terhadap Sumbu Y

$I_{y}=\int dA.x^{2}$

$I_{y}=\int dx.dy.x^{2}$

$I_{y}=\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}x^{2}.dx\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}dy$

$I_{y}=\left [ \frac{x}{3}^{3} \right ]_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}.\left [ y \right ]_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}$

$I_{y}=\left [\left [ \frac{1}{24}b^{3} \right ] -\left [ -\frac{1}{24}b^{3} \right ] \right ].\left [\left [ \frac{h}{2} \right ]-\left [ -\frac{h}{2} \right ] \right ]$

$I_{y}=\frac{1}{12}.b^{3}.h$

2. Penampang Segitiga Siku

a. Terhadap Sumbu X

$b'=\frac{b}{h}\left (\frac{2}{3}h-y \right )$

$\frac{\frac{2}{3}b}{b'}=\frac{\frac{2}{3}h}{\frac{2}{3}h-y}$

$dA=b^{'}dy$

$dA=\frac{b}{h}\left (\frac{2}{3}h-y\right )dy$

$I_{x}=\int_{-\frac{1}{3}h}^{\frac{2}{3}h}y^{2}.dA$

$I_{x}=\int_{-\frac{1}{3}h}^{\frac{2}{3}h}y^{2}\frac{b}{h}\left ( \frac{2}{3}h-y \right )dy$

$I_{x}=\int_{-\frac{1}{3}h}^{\frac{2}{3}h}\left ( \frac{2}{3}by^{2}-\frac{b}{h}y^{3} \right )dy$

$I_{x}=\left [ \frac{2}{3}b\frac{1}{3}y^{3}-\frac{b}{h}\frac{1}{4}y^{4} \right ]_{-\frac{1}{3}h}^{\frac{2}{3}h}$

$I_{x}=\left [ \frac{2}{3}b\frac{1}{3}\frac{8}{27}h^{3}-\frac{b}{h}\frac{1}{4}\frac{16}{81}h^{4} \right ]-\left [- \frac{2}{3}b\frac{1}{3}\frac{1}{27}h^{3}-\frac{b}{h}\frac{1}{4}\frac{1}{81}h^{4} \right ]$

$I_{x}=\left [ \frac{16}{243}bh^{3}-\frac{16}{324}bh^{3} \right ]-\left [- \frac{2}{243}bh^{3}-\frac{1}{324}bh^{3} \right ]$

$I_{x}=\left [ \frac{18}{243}bh^{3}-\frac{15}{324}bh^{3} \right ]$

$I_{x}=\frac{1}{36}bh^{3}$

b. Terhadap Sumbu Y

$\frac{\frac{2}{3}h}{h'}=\frac{\frac{2}{3}b}{\frac{2}{3}b-x}$

$h'=\frac{h}{b}\left (\frac{2}{3}b-x \right ) dx$

$dA=h^{'}dx$

$dA=\frac{h}{b}\left (\frac{2}{3}b-x\right )dx$

$I_{y}=\int_{-\frac{1}{3}b}^{\frac{2}{3}b}x^{2}.dA$

$I_{y}=\int_{-\frac{1}{3}b}^{\frac{2}{3}b}x^{2}\frac{h}{b}\left ( \frac{2}{3}b-x \right )dx$ $I_{y}=\int_{-\frac{1}{3}b}^{\frac{2}{3}b}\left ( \frac{2}{3}hx^{2}-\frac{h}{b}x^{3} \right )dx$

$I_{y}=\left [ \frac{2}{3}h\frac{1}{3}x^{3}-\frac{h}{b}\frac{1}{4}x^{4} \right ]_{-\frac{2}{3}b}^{\frac{2}{3}b}$

$I_{y}=\left [ \frac{2}{3}h\frac{1}{3}\frac{8}{27}b^{3}-\frac{h}{b}\frac{1}{4}\frac{16}{81}b^{4} \right ]-\left [- \frac{2}{3}h\frac{1}{3}\frac{1}{27}b^{3}-\frac{h}{b}\frac{1}{4}\frac{1}{81}b^{4} \right ]$ $I_{y}=\left [ \frac{16}{243}hb^{3}-\frac{16}{324}hb^{3} \right ]-\left [- \frac{2}{243}hb^{3}-\frac{1}{324}hb^{3} \right ]$