Mekanika Bahan

2a. Mekanika Bahan Menurunkan rumus titik berat penampang persegi dan segitiga

Monday, December 20, 2021

Hai hai Engineer, berikut ini menurunkan rumus Titik Berat Penampang, sbb:

TEORI VARIGNON

Teori ini akan digunakan untuk menentukan titik berat suatu penampang, berikut ini mengenai penjelasannya.

Dibawah ini diberikan suatu penampang dengan luasan (A), luas A dianalogikan sebagai gaya yang memiliki arah dan besaran serta memiliki jarak dari A ke sumbu X disebut dengan y_o. Karena momen adalah gaya dikalikan jaraknya maka momen yang ditimbulkan oleh gaya A terhadap sumbu X adalah M = A . y_o.Kita akan membagi penampang luasan A menjadi beberapa bagian kecil lalu meninjau beberaoa potongan penampang kecil yang disebut dengan dA₁ dengan jarak y1. Dan jika kita menjumlahkan seluruh potongan kecil maka nilai setiap potongan kecil akan sama dengan penampang besar yang utuh. Maka dari penjelasan diatas kita dapat membuat persamaan dalam mencari titik berat penampang.

$M=A.Y_{0}=\sum_{i=1}^{n}dA_{i}.Y_{i}$ $Dipembahasan Luasan, A=\int dA$

$Titik Berat Terhadap Sumbu X$

$Y_{o}=\frac{\sum_{i=1}^{n}dA_{i}.Y_{i}}{A}$

$Y_{o}=\frac{\int dA.Y}{\int A}$

$Titik Berat Terhadap Sumbu Y$

$X_{o}=\frac{\sum_{i=1}^{n}dA_{i}X_{i}}{A}$

$X_{o}=\frac{\int dA.X}{\int A}$

1. Penampang Persegi

a. Terhadap Sumbu Y

$Y.A=\int_{0}^{h}y.dA$

$Y.A=\int_{0}^{h}y.b.dy$

$Y.A=b.\left [ y.dy \right ]_{0}^{h}$

$Y.A=b.\left [ \frac{1}{2}.y^{2} \right ]_{0}^{h}$

$Y.A=b.\frac{1}{2}.h^{2}$

$Y.\left [ b.h \right ]=\frac{1}{2}b.h^{2}$

$Y=\frac{\frac{1}{2}b.h^{2}}{b.h}$

$Y=\frac{1}{2}.h$

b. Terhadap Sumbu X

$X.A=\int_{0}^{b}x.dA$

$X.A=\int_{0}^{b}x.h.dx$

$X.A=h.\left [ x.dx \right ]_{0}^{b}$

$X.A=h.\left [ \frac{1}{2}.x^{2} \right ]_{0}^{b}$

$X.A=h.\frac{1}{2}b^{2}$

$X.\left [ h.b \right ]=\frac{1}{2}.h.b^{2}$

$X=\frac{\frac{1}{2}.h.b^{2}}{h.b}$

$X=\frac{1}{2}b$

2. Penampang Lingkaran

a. Terhadap Sumbu Y

$Y.A=\int_{0}^{h}y.dA$

$Y.A=\int_{0}^{h}y.b^{'}.dy$

$Y.A=\int_{0}^{h}\frac{by.\left ( h-y \right )}{h}.dy$

$Y.A=\int_{0}^{h}by-\frac{by^{2}}{h}.dy$

$Y.A=\left [ \frac{1}{2}b.y^{2}-\frac{1}{3}.\frac{by^{3}}{h} \right ]_{0}^{h}$

$Y.A=\left [ \frac{1}{2}b.h^{2}-\frac{1}{3}.\frac{bh^{2}}{h} \right ]_{0}^{h}$

$Y.\left ( \frac{1}{2}.b.h \right )=\frac{1}{6}b.h^{2}$

$Y=\frac{1}{3}h$

b. Terhadap Sumbu X

$X.A=\int_{0}^{b}.x.dA$

$X.A=\int_{0}^{b}.x.h^{'}.dy$

$X.A=\int_{0}^{b}\frac{h.x.(b-x)}{b}.dy$

$X.A=\int_{0}^{b}h.x-\frac{hx^{2}}{b}.dy$

$X.A=\left [ \frac{1}{2}.h.x^{2}-\frac{1}{3}.\frac{h.x^{3}}{b} \right ]_{0}^{b}$

$X.A=\left [ \frac{1}{2}.h.b^{2}-\frac{1}{3}.h.b^{2} \right ]_{0}^{b}$

$X.\left ( \frac{1}{2}.h.b \right )=\frac{1}{6}h.b^{2}$

$X=\frac{1}{3}.b$